C03 罗素的逻辑和几个一般问题

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时间：2025年2月23日 21:02:23 - 23:12:32

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Chap03 罗素的逻辑和几个一般问题

1. 数学的原则

对纯数学做了大胆的定义，将其定义为所有形式为"p蕴涵q"的命题的类；

其中p和q是包含一个或者多个变元的命题，二者所含变元一致，且p和q都不包含一个或多个多元的命题；1937年加入了一个真值函项。

这本书的基本论点是数学和逻辑是统一的。

罗素勾勒了一个符号逻辑系统，并暗示某种类型论是解决集合论悖论的方法。

系统构造：

indivisuals -> class -> class -> class

propositions(命题) Fa(type fa) is ___

relations: class A __ class B

不存在f， 使得(~x)&f(x) x&f(x) 同时为真。

两个推论：

T1 f(x) 中的x存在一定范围（命题不需要对任意x都有意义）

T2 意义域构成类型（x具有普遍描述方式，可以被描述的都叫做类型）

f(x) > 0

f( f(x) ) == True

T1，T2中存在一个悖论：所有数被视为一个类型（可以放进命题里判定真假）所有命题被视为一个类型（可以放进关于命题的命题里判定真假）。那对一个命题集合类型m来说，有一个描述这个类型的命题Pm, "m中的每个命题都为真”—— 不属于m；根据类型的定义Pm应该属于m;

后续罗素通过层级区分解决了这个问题。

自由变量vs非自由变量：被量词约束的是非自由变量（一些，所有），未被约束的是自由变量

2. 数学原理之序曲

罗素为了解决悖论的一些尝试。

摹状词理论：语言结构的逻辑澄清是解决哲学问题的关键

2.1. 经典例子：“当今法国国王是秃头”

符号化：

关键点：

1) zigzag theory:

比较简单的命题决定类, 直谓命题的否定也是直谓的（天是蓝的，天不是蓝的）

2) 大小限制理论：没有一个集合可以有补集

3) 类型论

是不是禁止恶性循环（自我指代）就可以了？

罗素认为，我们需要一个正面的结构，而不是负面地断言什么是不允许的；数学里有无穷，逻辑学里不能简单地排除这一点，不然它看起来就没有包含数学的所有丰富性

形式包含：

逻辑中的三段论：对所有A满足f(A)， 因为a是A，所以a满足f(A)

3. 数学原理

个体对象 + 谓词(>, <, =) --> 一阶命题

+真值函数连接(and, or, not) --> 二阶命题

+ ... -->

直谓：命题只包含阶数比自己低的

非直谓：包含自身或包含更高阶的命题

可归约性公理：

ϕ(n+k)(x)≡ψ(n)(x)

任何高阶系统都可以化简为低阶的系统；

3.1 形式系统PM

包含:

indivisuals(x, y)

命题 F(indivisuals) (阶，2阶，。。。N阶)

全称量化：全部

运算: 恒等,

命题演算：

量化理论：处理任何、存在这类关系

可归约性公理：

同一性：

无穷公理：

选择公理：

悖论的危机：我们可以用任意想象的方式添加标记，只要满足“类的标记比其成员高一层”。符合与其意义的区分？

抛弃语义，规定初始符号，只考虑正公式

4. 维特根斯坦和拉姆齐

T1 f(x) 中的x存在一定范围（命题不需要对任意x都有意义）

T2 意义域构成类型（x具有普遍描述方式，可以被描述的都叫做类型）

T3a No class and its members can be of the same type.

维特根斯坦: 存在简单对象和原子事实，命题是对它们的描述；数是一种运算；理论忽视有穷和无穷的区别。

拉姆齐：《原理》认为每个类都有可以定义它的属性，实际上绝对不可定义的类也是存在的；未能区分语义悖论和数学悖论；等同，没有界定被实际使用的意义；我们通过描述意义来确定它们，描述的命题可以是无穷多；存在一个有穷多的词项，但证明是无限复杂，并因此是我们无法达到的。

只要定义是合理正确的，数学和逻辑就是等同的；

逻辑命题必须具有完全的普遍性，并基于其形式为真；

1) 恶性循环

2) 有穷性的概念：