C08 螃蟹卡农
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“我们向前走时，就是倒着走。”——螃蟹
ABCDEDCBA
印符数论（TNT - Typographical Number Theory）: 把数论表示在印刷符号中。
一些 TNT转化：
- 没有两个正立方数的和本身又是⼀个立方数 —— 对任何⼤于 0 的数 𝑏 和 𝑐，不存在数 𝑎，使得 𝑎 乘以 𝑎 乘以 𝑎 等于 𝑏 乘以 𝑏 乘以 𝑏 加上 𝑐 乘以 𝑐 乘以 𝑐。
- 存在有无穷多个素数 ——对每个数 𝑎，存在⼀个⼤于 𝑎 的数 𝑏，具有这样的性质：不存在⼤于 1 的数 𝑐 和 𝑑，使得 𝑏 等于 𝑐 乘以𝑑。
- 𝑎大于𝑏 —— 存在⼀个不等于 0 的数 𝑐，使得 𝑎 等于 𝑏 加上 𝑐。
一些定义：
S：“……的后继”
变元：𝑒′, 𝑑′, 𝑐″, 𝑏‴, 𝑎⁗
术语：加法 (𝑏 + 𝑐) 乘法 (𝑏 ⋅ 𝑐) 等于 ＝
原子（最小的良构公式）：关于相等的陈述。e.g. 2 加 3 等于 4 —— (𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆𝑆0) = 𝑆𝑆𝑆𝑆0
复合公式：
2 加 2 不等于 3：∼(𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆0) = 𝑆𝑆𝑆0
如果 1 等于 0，那么 0 等于 1：⟨𝑆0 = 0 → 0 = 𝑆0⟩
开公式：既不真也不假。
e.g. (𝑏 + 𝑆0) = 𝑆𝑆0 ——“𝑏 加 1 等于 2”，表达了数 𝑏 可以具有的⼀个性质。
自由变元：未指定的变元。如b.
开公式变成闭公式/句子：加⼀个量词或短语“存在⼀个数 𝑏，使得……”/“对任何数 𝑏”。
∃𝑏: (𝑏 + 𝑆0) = 𝑆𝑆0 （“∃”代表“存在”）——存在断言
∀𝑏: (𝑏 + 𝑆0) = 𝑆𝑆0 （“∀”代表“任何”或“所有的”）——全称断言
量化变元：在量词管辖之下的变元。
(𝑏 ⋅ 𝑏) = 𝑆𝑆0 （开公式，b是自由变元）
∼∃𝑏: (𝑏 ⋅ 𝑏) = 𝑆𝑆0 （闭公式，是⼀个 TNT 的句子；b 是量化变元）
∀𝑏: ∀𝑐: (𝑏 + 𝑐) = (𝑐 + 𝑏) （表示加法交换律的句子）
∀𝑐: (𝑏 + 𝑐) = (𝑐 + 𝑏) （开公式，因为 𝑏 是自由的）
一些翻译：
- 2 不是⼀个平方数：
∼∃𝑏: (𝑏 ⋅ 𝑏) = 𝑆𝑆0 —— 不存在⼀个数 𝑏，具有这样的性质，𝑏 的平方是 2；
∀𝑏: ∼(𝑏 ⋅ 𝑏) = 𝑆𝑆0 —— 对任何数 𝑏，𝑏 的平方不是 2。（概念等价，但在TNT中是不同的串）
- 1729 是两个立方数的和：
Q：下面这两种翻译的意义是什么？为什么它们比最上面的方式更好？
A：可能因为更直观？10*10*10 + 9*9*9 = 1729，12*12*12 + 1*1*1=1729
- 没有两个正立方数的和本身又是⼀个立方数：
∀𝑎: ∼∃𝑏: ∃𝑐: ((𝑎 ⋅ 𝑎) ⋅ 𝑎) = (((𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑏) ⋅ 𝑆𝑏) + ((𝑆𝑐 ⋅ 𝑆𝑐) ⋅ 𝑆𝑐))
Or
∼∃𝑎: ∃𝑏: ∃𝑐: ((𝑎 ⋅ 𝑎) ⋅ 𝑎) = (((𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑏) ⋅ 𝑆𝑏) + ((𝑆𝑐 ⋅ 𝑆𝑐) ⋅ 𝑆𝑐))
等号右边不用 𝑏 和 𝑐 做立方，而用它们的后继，确保⼀定是正的。
- 5 是素数：
= 不存在数 𝑎 和 𝑏，它们都大于 1，使得 5 等于 𝑎 乘以 𝑏
= 不存在数 𝑎 和 𝑏，使得 5 等于 𝑎 加上 2，再乘以 𝑏 加上2（ 𝑎 和 𝑏 被限定只能取自然数值）
Q：这里加个2多此一举是为什么？
A：保证大于1
𝑏 加上 2：(𝑏 + 𝑆𝑆0) —— 𝑆𝑆𝑏
∼∃𝑏: ∃𝑐: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆0 = (𝑆𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑆𝑐)
𝑑 加 𝑒 加 1 是素数，而不说 5：
用串 (𝑑 + 𝑆𝑒) 来替换代表 5 的那个数字，得到——
∼∃𝑏: ∃𝑐: (𝑑 + 𝑆𝑒) = (𝑆𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑆𝑐) 开公式
存在⼀个数，它大于 𝑑，并且它是素数：
∃𝑒: ∼∃𝑏: ∃𝑐: (𝑑 + 𝑆𝑒) = (𝑆𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑆𝑐) 断言
在变元 𝑑 上进行全称性的量化：
∀𝑑: ∃𝑒: ∼∃𝑏: ∃𝑐: (𝑑 + 𝑆𝑒) = (𝑆𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑆𝑐) Q：翻译为“存在有无穷多个素数”？
翻译练习 & 真假判定：
• ∼∀𝑐: ∃𝑏: (𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 没有任何 c 能够满足：存在一个b, 使得 b 乘以2 等于 c —— c 是奇数（真）
• ∀𝑐: ∼∃𝑏: (𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 对任何 c 来说: 不存在一个 b, 使得b 乘以2 等于 c (假）
• ∀𝑐: ∃𝑏: ∼(𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 对任何 c 来说，都存在一个 b，使得 b 乘以2 不等于 c （真）
• ∼∃𝑏: ∀𝑐: (𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 不存在一个 b，使得对于任何 c 来说，b 乘以2 等于 c （真）
• ∃𝑏: ∼∀𝑐: (𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 存在一个b，使得没有任何 c 能够满足，b 乘以2 等于 c （假）
• ∃𝑏: ∀𝑐: ∼(𝑆𝑆0 ⋅ 𝑏) = 𝑐 存在一个 b，使得任何 c 都满足：b 乘以2 不等于 c —— c 是奇数（真）
TNT良构公式规则:
数字：
0 是⼀个数字。
⼀个前⾯加上了 𝑆 的数字仍是⼀个数字 —— 0 𝑆0 𝑆𝑆0 𝑆𝑆𝑆0 𝑆𝑆𝑆𝑆0 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆0
变元：
𝑎 是⼀个变元。如果我们不限于简朴版本，那么 𝑏，𝑐，𝑑 以及 𝑒 同样也都是。
⼀个加了⼀撇的变元仍是⼀个变元。例⼦：𝑎 𝑏′ 𝑐″ 𝑑‴ 𝑒⁗
项：
所有数字和变元都是项。
⼀个前⾯加了 𝑆 的项仍是⼀个项。
如果 𝑠 和 𝑡 都是项，那么 (𝑠 + 𝑡) 和 (𝑠 ⋅ 𝑡) 也同样都是项。 0 𝑏 𝑆𝑆𝑎′ (𝑆0 ⋅ (𝑆𝑆0 + 𝑐)) 𝑆(𝑆𝑎 ⋅ (𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑐))
(1) 确定项。这些项不包含变元。0 (𝑆0 + 𝑆0) 𝑆𝑆((𝑆𝑆0 ⋅ 𝑆𝑆0) + (𝑆0 ⋅ 𝑆0))
(2) 非确定项。这些项包含有变元。𝑏 𝑆𝑎 (𝑏 + 𝑆0) (((𝑆0 + 𝑆0) + 𝑆0) + 𝑒)
原子：
如果 𝑠 和 𝑡 是项，那么 𝑠 = 𝑡 是⼀个原⼦。𝑆0 = 0 (𝑆𝑆0 + 𝑆𝑆0) = 𝑆𝑆𝑆𝑆0 𝑆(𝑏 + 𝑐) = ((𝑐 ⋅ 𝑑) ⋅ 𝑒)
原子中的变元是自由的。
否定：
⼀个前⾯加了⼀个弯号的良构公式是良构的。
∼𝑆0 = 0 ∼∃𝑏: (𝑏 + 𝑏) = 𝑆0 ∼⟨0 = 0 → 𝑆0 = 0⟩∼𝑏 = 𝑆0
⼀个变元的量化状况（就是说变元是自由的还是量化的）在否定之下并不改变。
复合：
如果 𝑥 和 𝑦 是良构公式，并其中的变元性质相同（都是自由变元 or 都是量化变元），那么
⟨𝑥 ∧ 𝑦⟩, ⟨𝑥 ∨ 𝑦⟩, ⟨𝑥 → 𝑦⟩ 都是良构公式
e.g. ⟨0 = 0 ∧ ∼0 = 0⟩ ⟨𝑏 = 𝑏 ∨ ∼∃𝑐: 𝑐 = 𝑏⟩ ⟨𝑆0 = 0 → ∀𝑐: ∼∃𝑏: (𝑏 + 𝑏) = 𝑐⟩
量化：
如果 𝑢 是⼀个变元，𝑥 是⼀个良构公式，𝑢 在它⾥⾯是⾃由的，那么下⾯的串是良构公式：
∃𝑢: 𝑥 和 ∀𝑢: 𝑥
e.g. ∀𝑏: ⟨𝑏 = 𝑏 ∨ ∼∃𝑐: 𝑐 = 𝑏⟩ ∀𝑐: ∼∃𝑏: (𝑏 + 𝑏) = 𝑐∼∃𝑐: 𝑆𝑐 = 𝑑
开公式：含有至少⼀个自由变元。e.g. ∼𝑐 = 𝑐 𝑏 = 𝑏 ⟨∀𝑏: 𝑏 = 𝑏 ∧ ∼∃𝑐 = 𝑐⟩
闭公式（句子）：不含自由变元。 e.g. 𝑆0 = 0 ∼∀𝑑: 𝑑 = 0 ∃𝑐: ⟨∀𝑏: 𝑏 = 𝑏 ∧ ∼𝑐 = 𝑐⟩
翻译练习：
所有的自然数都等于 4。 ∀𝑎：𝑎 = 𝑆𝑆𝑆𝑆0
不存在等于它自身平方的自然数。 ∼∃𝑏: ( 𝑏 ⋅ 𝑏 ) = 𝑏
不同的自然数有不同的后继。 ∀𝑏: ∼∃𝑐: ⟨∼𝑏=𝑐 → 𝑆𝑏 = 𝑆𝑐⟩
如果 1 等于 0，那么每个数都是奇数。 ⟨𝑆0=0 → ∀𝑏: ∃𝑐: 𝑏 = (𝑐 + 𝑐)+𝑆0⟩
𝑏 是 2 的某次方。Q：？？？
TNT 的五条公理：
公理 1 ∀𝑎: ∼𝑆𝑎 = 0 零不是任何⾃然数的后继
公理 2 ∀𝑎: (𝑎 + 0) = 𝑎
公理 3 ∀𝑎: ∀𝑏: (𝑎 + 𝑆𝑏) = 𝑆(𝑎 + 𝑏)
公理 4 ∀𝑎: (𝑎 ⋅ 0) = 0
公理 5 ∀𝑎: ∀𝑏: (𝑎 ⋅ 𝑆𝑏) = ((𝑎 ⋅ 𝑏) + 𝑎)
皮亚诺公设：
(1) 怪物是⼀个神怪。
(2) 每⼀个神怪有⼀个元（它也是⼀个神怪）。
(3) 怪物不是任何神怪的元。
(4) 不同的神怪有不同的元。
(5) 如果怪物有 X，并且每个神怪都把 X 递送给它的元，那么所有的神怪都得到 X。——继承性论证
特称规则：如果串 ∀𝑢: 𝑥 是⼀个定理，则 𝑥 也是定理。
（限制：用来替换 𝑢 的项必须不包含任何在 𝑥 中被量化了的变元。）
∀𝑎: ∼𝑆𝑎 = 0 公理 1
∼𝑆0 = 0 特称
∼𝑆(𝑐 + 𝑆𝑆0) = 0 特称规则允许开公式成为定理
概括规则：假设 𝑥 是⼀个定理，其中的变元 𝑢 是⾃由出现的，那么 ∀𝑢: 𝑥 是⼀个定理。
（限制：在⼀个幻想⾥⾯，不允许对任何⾃由出现在该幻想的前提中的变元作概括。）
∀𝑐: ∼𝑆(𝑐 + 𝑆𝑆0) = 0
互换规则：假设 𝑢 是⼀个变元。那么串 ∀𝑢: ∼ 与 ∼∃𝑢: 在任何定理中的任何地⽅都是可互换的。
∀𝑎: ∼𝑆𝑎 = 0 公理 1
∼∃𝑎: 𝑆𝑎 = 0 互换
存在规则：假设⼀个项（可以含有变元，只要是自由的）在⼀个定理中出现⼀次或多次。那么，这个项的任何（或者是⼀些，或者是所有）出现都可以用⼀个不在定理中出现的变元来替代（替代之后当然就在这个定理中出现了），相应的存在量词则必须放在最前⾯。
∀𝑎: ∼𝑆𝑎 = 0 公理 1
∃𝑏: ∀𝑎: ∼𝑆𝑎 = 𝑏 存在
Q：如何推导出定理 ∼∀𝑏: ∃𝑎: 𝑆𝑎 = 𝑏？
等号规则
对称：如果 𝑟 = 𝑠 是⼀个定理，那么 𝑠 = 𝑟 同样也是定理。
传递：如果 𝑟 = 𝑠 和 𝑠 = 𝑡 都是定理，那么 𝑟 = 𝑡 也是定理。
后继规则
加 𝑆：如果 𝑟 = 𝑡 是⼀个定理，那么 𝑆𝑟 = 𝑆𝑡 是⼀个定理。
去 𝑆：如果 𝑆𝑟 = 𝑆𝑡 是⼀个定理，那么 𝑟 = 𝑡 是⼀个定理。
Q：如何用公理推导出 0 = 0？
Q：用迄今为止的规则，∀𝑎: (0 + 𝑎) = 𝑎 这个串还产生不出来，why?
𝜔 不完全性：⼀个系统是 𝜔 不完全的，如果在⼀个金字塔中的所有串都是定理，而全称量化的概述串却不是⼀个定理。
上述概述串的否定—— ∼∀𝑎: (0 + 𝑎) = 𝑎 ——也不是 TNT 的定理。
“全规则”的问题是：它要求知道⼀个无穷高的金字塔中所有的行都是定理——这对⼀个有穷的主体来说是要求得太多了。但是让我们假设这个塔的每⼀行都能够用某种模式化的方法从它的前一行推出来，这样就能用⼀个有穷的推理去说明在塔⾥的所有的串都是定理。于是，技巧仅在于去找出造成多级瀑布的那个模式，并证明那个模式本⾝就是⼀个定理。
引入新记号：⼀个带自由变元 𝑎 的良构公式：𝑋{𝑎}
用记号 𝑋{𝑆𝑎/𝑎} 来代表该串中 𝑎 的每个出现都被 𝑆𝑎 替换后得到的结果
𝑋{𝑎} ：(0 + 𝑎) = 𝑎
则 𝑋{𝑆𝑎/𝑎} 就表示串 (0 + 𝑆𝑎) = 𝑆𝑎，而 𝑋{0/𝑎} 就表示 (0 + 0) = 0。
归纳规则：设 𝑢 是⼀个变元，𝑋{𝑢} 是⼀个 𝑢 在其中⾃由出现的良构公式。
如果 ∀𝑢: ⟨𝑋{𝑢} → 𝑋{𝑆𝑢/𝑢}⟩ 以及 𝑋{0/𝑢} ⼆者都是定理，那么 ∀𝑢: 𝑋{𝑢} 也是⼀个定理。
用它来证明 ∀𝑎: (0 + 𝑎) = 𝑎 的确是⼀个 TNT 定理：
⟨(0 + 𝑏) = 𝑏 → (0 + 𝑆𝑏) = 𝑆𝑏⟩ 幻想规则
∀𝑏: ⟨(0 + 𝑏) = 𝑏 → (0 + 𝑆𝑏) = 𝑆𝑏⟩ 概括
∀𝑏: (0 + 𝑏) = 𝑏 归纳
∀𝑎: (0 + 𝑎) = 𝑎 把变元从 𝑏 改为 𝑎，成为 TNT 的一个定理
长推导：
TNT 证明了加法的可交换性。
用TNT，⼈们可以证明在⼀篇标准的关于数论的专门论文中所能找到的每⼀个定理。
If TNT 是完全的，即每个用 TNT 记法可表达的真陈述都是定理，那就能为数论的⼀切东西造⼀个判定过程：如果你想知道 N 中的语句 X 是真还是假，就把它翻成 TNT 句子 𝑥。
如果 X 为真，完全性就说，𝑥 是⼀个定理；反过来，如果非X 为真，那么完全性就说，∼𝑥 是⼀个定理。因此，𝑥 和 ∼𝑥 ⼆者必有⼀个是定理。
Then系统地枚举 TNT 的定理，用曾经对 WJU 系统和 pq 系统所⽤过的那种⽅法。关键的⼀点是能在心里区分开形式系统 TNT 与它的非形式对应物 N。这样，从原则上说，如果 TNT 是完全的，数论专家就得赋闲了：只要有足够的时间，他们领域里的任何问题都能够用纯粹机械的方法解决。
现在我们知道这是不可能的。
我们的目标：证明 TNT 具有⼀个特定的印符性质（⼀致性），即任何时候都不会有 𝑥 和 ∼𝑥 形式的公式同时都是定理。
基于如下假设：在证明这样⼀个印符性质成立时，并不需要有关数论的事实。换句话说，如果没有⽤到整数的性质——或者仅仅用到了少许极为简单的性质——那么我们就达到目标了：证明了 TNT 的⼀致性，而⽤到的推理手段比 TNT 自身内部的推理模式弱。