C14 论TNT及有关系统中形式上不可判定的命题
首先这个名字翻译的就非常有「PHD感」...
应该就是想说系统中的不可判定命题「On Formally Undecidable Propositions of TNT and Related Systems 」英文看着感觉更明白一些。另外这几章的翻译让我不禁怀疑译者在翻译的时候，到底有没有看懂作者这章想讲的到底是啥。
整个这一章的调性就是,我好像看懂了点,但我确定我没有都看明白,并且又不确定我懂得部分是不是真的看懂了,还是只明白了一部分?
总之这一章我没能跟上作者的思路,自我分析应该是几个底层模块没能建立好.导致在读本章时拼凑的模块结构不牢固.
以下是读书会的录屏,感觉自己讲的乱七八糟的. 不如直接看文字,录音质量也有点糊,凑合着看吧: )
录屏链接: https://pan.baidu.com/s/14SlOOSv2YGffss_GSQLO9w?pwd=h1aw
提取码: h1aw
G弦上的咏叹调（Air on G's String）
Tortoise: Can you imagine something preceded by its quotation?
Achilles: I guess I can conjure up an image of Chairman Mao walking into a banquet room in which there already hangs a large banner with some of his own writing on it. Here would be Chairman Mao, preceded by his quotation.
这块儿的例子居然真的是 Chairman Mao 但我真的没看懂这个奇怪的笑点...
"YIELDS FALSEHOOD WHEN PRECEDED BY ITS QUOTATION" 前面有引语时会产生谬误
Achilles: Oh, he is such a Doubting Tortoise ... All right, let me see ... Suppose I make up a sentence~I'll call it "Sentence P"-with a blank in it.
Tortoise: Such as?
Achilles: Such as ...
"_ _ , WHEN QUINED, YIELDS A TORTOISE'S LOVE SONG".
Now the subject matter of Sentence P depends on how you fill in the blank. But once you've chosen how to fill in the blank, then the subject matter is determined: it is the phrase which you get by QUINING the blank. Call that "Sentence Q", since it is produced by an act ofquining.
Tortoise: That makes sense. If the blank phrase were "is written on old jars of mustard to keep them fresh", then Sentence Q would have to be
"IS WRITTEN ON OLD JARS OF MUSTARD TO KEEP THEM FRESH" IS WRITTEN ON OLD JARS OF MUSTARD TO KEEP THEM FRESH.
“写在旧的芥末罐子上以保持新鲜”写在旧的芥末罐子上以保持新鲜。
Achilles: True, and Sentence P makes the claim (though whether it is valid or not, I do not know) that Sentence Q is a Tortoise's love song. In any case, Sentence P here is not talking about itself, but rather about Sentence Q. Can we agree on that much?
中文翻译和原文其实差距挺大的,基本上是重新举了个例子.翻译工作量巨大.但纯用文字确实不容易感受到作者说的那个点. 其实这些奇怪的例子就是在解释 㧟摁:Quine 这个概念.
比如 “挺棒”挺棒 | “可乐”可乐 | 意识“意识” | 诈骗“诈骗”
「Air on G's String」的内容让我想到了小时候老看的陈佩斯和朱时茂的小品系列.
4:00-5:00
07:44 - 10:35
感觉「G弦上的咏叹调」这部分是在把「陈佩斯」用来搞笑用的梗,讲得非常学术,也是挺搞笑的. (这个“搞笑”搞笑)
(那个时代的作品真是经典, 作品和演技都在线,以为是起点,没成想却是巅峰)
总结一下就是 “你说”你说 | “搞笑”搞笑
PS: 当我联想到这个小品时,突然「乌龟」和「阿基里斯」的形象被「陈佩斯」和「朱时茂」替代了.手里的书也从一部获普利策大奖的「传世著作」变成了一部春晚小品. 然后之前几章所有那些和乌龟、阿基、螃蟹、食蚁兽 经历的光怪陆离的故事,一下子在我脑海中都变成了一部春晚 或者一部陈佩斯、朱时茂携手 赵本山+郭德纲的群口相声
一下就Low了...以至于看这个书都能笑出来.
但与此同时,我也发现了生活中有好多的梗/段子或者误会甚至灾难,都是来自于「㧟摁:Quine」这个点,但我之前从来没意识到过这是种智力问题.
“北京”北京了 | “上海”上海着
真的只有你...
穿透这套“语言系统”的背后,好像有点什么和中文系统&表意无关,但和其他什么相关的东西.
(“控制”控制,转移目标,用一套你本来熟悉的东西,一点点「推进」边沿,构建出一个你完全陌生的东西,但这循序渐进的过程使得你觉得你跟最终的这个东西熟悉,但解释权在「推进」的人手里)
虽然有点牵强(我可能只是想分享这个段子)但感觉「你大爷」不愧是你大爷,用郭嘉的政策牵制住了郭嘉政策的执行团队. 具体是用2个平行系统「反诈」+「封控」 我感觉他一定是故意的,因为我要是他,我要是也能想到这个办法,我可能也想这么做.
后2个例子有点牵强,但我是想强调:「我发现这个 㧟摁:Quine 除了语言学系统外,在其他人类组织系统中也有影子」
自指
关于自指,感觉「自指」是上面「㧟摁:Quine」结构的一个特例,自己指设自己
「自指」vs「Quine」有点像
「上与下」|「画廊」 vs 「天鹅」|「相遇」的区别一样.
VS
第十四章 论 TNT 及有关系统中形式上不可判定的命题
“牡蛎”里的两个想法
我是没看明白本段内容跟「牡蛎」的关系 英文版:The two ideas of the “Oyster” 也没看懂跟Oyster的关系,望看懂的人能在评论区指教指教,感激不尽.
这章的感觉就是知识点大汇总,把之前89章13章等关键技术点都汇集在一块了.但我读的时候好多都忘了.于是又得回去翻,他的逻辑又冗长,连贯且复杂.所以读起来觉得特别费劲. 下面是我贴过来的几个关键点,也是我当时读忘了的点,顺便帮大家复习一下.
这一整章都是在详细解释 2个关键想法. 「哥德尔配数」+「对角线证明」的妙用(Quine后的机械化自证明) 这两点解释哥德尔论文的核心
哥德尔配数法:
为了能够在命题中讨论其它命题而不造成混淆，哥德尔发明了一种巧妙的方法，称为哥德尔配数法。 简单来说，就是对每个字符分配一个特定的整数，整个命题以无歧义的方式把这些整数串起来，得到一个超长的整数。 如果你学过编程，可以把哥德尔配数当做对每个字符进行Unicode编码。
参考视频: 真理元素的「数学有一个致命的缺陷」S0 SS0 BlaBlaBla 那部分
对角线证明:
参考 「Matrix67」写的相关文章 (顺便推荐一下这位大神,几年前的博客时代就看了不少他的博章. 科学/理性相关,都是一些难啃的主题.他真人也挺有意思的好像有一次邀请他来参加过分享)
他的网站主页是个很有意思的「兔子洞」
第一个想法:「证明对」
「证明对」是一对儿自然数. 怎么得来的?是通过分析证明本身(即证明过程) 得来的.
他先做了个「哥德尔配数」也就是把印符系统的描述,做了个映射.mapping到「自然数系统」里.
哥德尔的这个方法, 体现了符号系统自己解释自己的能力(「自省」能力)解释清楚这个,需要从“证明对”概念说起.
这个「自省」能力感觉拓展到我个人身上就让我想到了一些禅修的体验.你感知到你的呼吸,感知到身体的各个感知器官如何work,意识到你的想法怎么产生的?自我这个系统,解释自己这个系统:
比如实时的: 我们为啥要闲的没事一块儿读这本书来着?
对,我们就是太闲的没事了!
证明对: proof-pairs
原文的解释是: 一个「证明对」是一对以某种特殊方式结合在一起的自然数 「proof-pairs」 A 「proof-pair」is a pair of natural numbers related in a particular way.
TNT系统:
还有个我当时忘记了得概念,补充到这儿: 什么是TNT系统?
TNT系统首次出现应该是在「第三章」图形与衬底的71页
将来在第八章，当我们构思我们的印符数论(即 TNT)时，我们将希望能用两种类似的方式来刻划所有的 数论假陈述的集合
Now in Chapter VIII, when we create our Typographical Number Theory (TNT), it will be our hope that the set of all false statements of number theory can be characterized in two analogous ways:
详细说明在第八章 「印符数论」
印符数论（TNT - Typographical Number Theory）: 把数论表示在「符号系统」中。(印刷符号系统中)
就是那堆把人话变得更像机器人说话的规则
存在一个数，它大于 𝑑，并且它是素数。
∃𝑒:∼∃𝑏:∃𝑐:(𝑑 + 𝑆𝑒) = (𝑆𝑆𝑏 ⋅ 𝑆𝑆𝑐) // 这个是印符数论系统的表述
然后回到十四章的原文这里:
两个自然数(分别用 𝑚 和 𝑛 表示)形成一个 TNT 证明对，当且仅当 𝑚 是某个 TNT 推导的哥德尔数，而该推导的最末一行是哥德尔数为 𝑛 的符号串。
断句应该是这样的: 当且仅当 𝑚 是某个「TNT 推导」的「哥德尔数」，而「该推导」的「最末一行」是「哥德尔数为 𝑛」 的「符号串」。
他这里说的意思是,把一套符号系统的「TNT推导」变成了一对儿 m >> n的一个数值. (哥德尔配数) 即一段过程变成了一个数.
这段里面的m=626,262...是沿用了「第九章」无门与哥德尔的“对 WJU 系统进行哥德尔配数” 267页,如下面2图:
用上面表中的对应规则把符号变成数字,然后这个数字(哥德尔数)就替换了一堆 ∀𝑎:∼𝑆a =0 这样的符号,
比如: ∀𝑎:∼𝑆a =0就变成了 626 262 636 223 123 262 111 666 注意: 这里是哥德尔数, 还不是「证明对」
然后将数字做运算,运算的逻辑虽然是 +-* % 但逻辑是从符号系统来的,运算能得出想要的一串数字,那么符号系统里的证明就没错.
即 从 m出发 我们经过相应的数学逻辑推演,可以得到我们想要的 n
那么就是说 m >> n 是一对儿「证明对」 | 同样如果不能从m 推出来 n 那它俩就不是「证明对」
原文例子:
第一个，令 𝑚 = 3131131111301，𝑛 = 301。这样一对 𝑚 和 𝑛 的值确实构成 WJU 证明对，因为 𝑚 是下面 的 WJU 推导的哥德尔数:
• WJ
• WJJ
• WJJJJ
• WUJ
其中最后一行 WUJ 的哥德尔数为 301，也就是 𝑛。
我们重复一下 WJU 系统的映射规则:
W⟺3 J⟺1 U⟺0
𝑚 = 3131131111301 即 WJ WJJ WJJJJ WUJ n=301 WUJ
(1) 𝑚=626,262,636,223,123,262,111,666,611,223, 123, 666, 111, 666
𝑛 = 123, 666, 111, 666
m= 626 262 636 223 123 262 111 666 611 223 123 666 111 666 即 ∀𝑎:∼𝑆a =0 标点 ~S0=0
n= 123 666 111 666 即 ~S0=0
(2) 𝑚=626,262,636,223,123,262,111,666,611,223, 333, 262, 636, 123, 262, 111, 666
𝑛 = 223, 333, 262, 636, 123, 262, 111, 666
m= 626 262 636 223 123 262 111 666 611 223 333 262 636 123 262 111 666 即 ∀𝑎:∼𝑆a =0 标点 ~∃a: Sa=0
n= 223 333 262 636 123 262 111 666 即 ~∃a: Sa=0
那,为什么做「证明对」呢?于是这里原文说:
我们在任 何形式系统中做的事情都有一个与之平行的算术处理。
我的理解: 意思就是说 你可以用「映射」(哥德尔数)的方式将一个符号系统内的,「描述性问题」一些需要推导出来的问题, 转化成一个「数值计算的问题」
比如:
∀𝑎:∼𝑆a =0 这个「公理 1」 哥德尔数: 626 262 636 223 123 262 111 666 611
「证明对」
m= 626 262 636 223 123 262 111 666 611 223 123 666 111 666 即 ∀𝑎:∼𝑆a =0 标点 ~S0=0
n= 123 666 111 666 即 ~S0=0
你转换的问题有「证明对」就说明它是可计算的,即可以证的,也就是说问题解决了.
(值得注意的是,这个问题在你换了套系统之后,意思虽然全变了,但结果是通的(一样的) 或者直观的说,你跳了一层解决问题了原来复杂的问题)
然后这段的这一堆应该是在说,我们在人脑中的判定过程/判定步骤 是可以写成上面可计算形式的.6262,262,blabla一堆...他第八九章的内容又简短的重复了一遍,感觉他应该是3篇笔记,然后用拧麻花的形式编辑在了一起最后成的书出版.八、九、十四章 逻辑明显是连贯下来的.
“证明对”是原始递归的...
这章的核心应该就是在说这个过程不会陷入死循环,因为是原始递归的,所以用Bloop函数/一个「有限函数」就可以测试出来.
注意:再次强调一下,作者现在讨论的主要是过程而不是结果就是说,计算结果用的方法,也是判断计算过程合不合理的方法, 是个递归结构
上面这段应该就是在说: 虽然原始规则使得字符串变长&变短不定,产生了不可预期性.看起来是无限不循环/ 但是因为你跳了一层,将问题映射到了「数学计算」上,用一个Bloop函数(有限循环算法bounded loop)是可以解决这类问题的
...因而可在 TNT 中体现
从「Bloop有限循环」可求解 >> 构成证明对 (证明的过程) 也可以用「Bloop有限循环」在 TNT中可证明 ?(不确定是否正确)
而且,是在具体那个系统证明成功的,不重要.结果可以统一,过程也可以同构.
有点像黑客帝国,里面「你在Mitrax 里死了,就在现实世界中就也死了」的原因类似.(这个是我的理解,可能是错的)
形式系统的本质就在于此:它总能用一种预先知道能有结局的方式，说清一个给定的符 号串序列是否构成一个证明——而这一切都能移植到对应的算术概念之中。
这句没看懂,求解.
证明对的威力
好像就是把陈述,都转换成了证明对(一对儿数)
“WU 是 WJU 系统的一个定理” >> WJU-PROOF-PAIR{𝑎, 𝑎′} (证明对 proof-pairs) >> ∃𝑎: WJU-PROOF-PAIR
{𝑎, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆0/𝑎′}
这里的体现「证明对」{𝑎, 𝑎′}的 证明过程,缩写的是上面那堆 WJ>WJJ>WJJJ>WUJ 过程, 定理2证明可以用 BlooP 测试出来.
整段说的是: 「𝑎′ 是 TNT 定理数」这样的判断在TNT系统内无法做判断,需要在「元TNT系统」上做判断. 但是把问题变成“「𝑎′ 是 TNT 定理数」是个「证明对儿」”就可以在TNT系统内做判断了.
这部分我的联想是.比如俩人辩论,到底谁说的对? 俩人公说公有理/婆说婆有理.俩人就没法知道>>于是需要个第三方,比如法官什么的.
但是如果换一个思路,两个人用对方的思路来反驳自己本来的论点和论证过程.两个人就能分辨出谁更有道理.
或者2人是换个思路看谁的理论,在对方的系统中错的更离谱,这样俩人的系统就能知道谁对谁错/不需要借助第三方了(元系统)
我觉得我举的例子没有体现出来「证明对儿」的结构,因此我觉得我这块儿没看明白.
完善例子: 2个人把自己的论据,推导过程都写出来, 画在纸上, 换一套表述方式记录下来,然后互相看,就更能知道谁的观点是对的了.
代入导致第二个想法
没看懂,好像是用「证明对」把三个自由变元的 TNT 公式:
SUB{𝑎, 𝑎′, 𝑎′′} >>> SUB{𝑆𝑆𝑆𝑆⋯ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 0/𝑎, 𝑆𝑆0/𝑎′, 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆⋯ 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 0/𝑎′′} 正成这样.
自由变元:
a | a' 这些是自由变元 | SS0 这个是2 的哥德尔数
算术㧟摁
嗯,云山雾罩,
最后一锤
看完我就一个感觉, 陈佩斯真是个「㧟摁」的高手.
我们立即来写出那个公式，并称它为 G 的“服”号串:
∼∃𝑎: ∃𝑎′: ⟨TNT-PROOF-PAIR{𝑎, 𝑎′} ∧ ARITHMOQUINE{𝑎′′, 𝑎′}⟩
你可以明白地看出这一策略是怎样深刻地借助了算术㧟摁化的。这个“服”号串当然有一个哥德尔数，我们称之 为“𝑢”。𝑢 的十进表达式的两头甚至中间的一小块可以直接读出来:
读到这里的时候,这个“服”字能让我确定,本书的翻译是不是好像也没明白侯世达到底在说些什么?
但是侯世达这一段 好像就是说了这句话:
「我下面说的话是错的」
「我上面说的话是对的」
另一个解释:
“我无法被「完备公理Σ」证明”。
如果「完备公理Σ」证明了「这条命题」，那么「这条命题」的内容便是不对的(该命题为假)。「这条命题」不是公理,不应该在「完备公理Σ」子集里,于是系统是有矛盾的。
如果「这个命题」为真，根据它的内容，你无法证明它,于是「万能公理Σ」不完备
TNT 说“服了!”
在我基本上准备放弃,破罐子破摔,爱咋咋地的时候,看到了这个题目. 我直接笑了出来: ) 并且一边笑,一边脑子里回荡着「我是谁?我读到哪儿了?我这是在干嘛?」这样的“㧟摁”思维.
感觉这段他就是解释了一下自己「G弦上的咏叹调」是怎么写出来的.
哥德尔第二定理
还是用那套,TNT系统自己证明自己的方法(我没有看明白) 但是他说的最后一句:
通过一个冗⻓但很容易的推理可以证明——只要 TNT 一致——这个用 TNT 符号写出的一致性誓言不是个 TNT 定理。所以说，当 TNT 表示一些事物时，它的反省能力很强，但要让它证明这些事物，其反省能力就很差 劲了。如果把这一结果借过来用于人的自我认识问题，恐怕极易引起争论。
我大概明白了,是说过程不是TNT定理,表示的能力很强,但证明自己的能力很差.映射到「自我认知」问题上时应该就是说.
你描述你的“本领”很容易,但如何证明你真的有你说的这些“本领”很难. (本领在这里指的是知识)
总之是在说哥德尔颠覆了「希尔伯特」的数学大一统理论,数学系统的一致性和完备性不可兼具.
TNT 是不完全的 𝝎
呵呵
应该是用一个递归,证明了它的不完备 ( 𝝎 系统是啥?忘记了)
两个不同的补洞方法
G的哥德尔数可扩展性有2个方向
一是朝着,「把 G 加进去作为新公理」的方向, 另一个是反方向 「把 ~G 加进去作为新公理」
超自然数
非欧几何那一套应该是