C02数学中的意义与形式 & C03图形与衬底
背景信息
导读者——雪珊 时间：2月13日（周日）上午9:30-11:30
标题：数学系都迷之学什么??
内容：分享书中第二章「数学中的意义与形式」+第三章「图形与衬底」的内容和思考
录屏链接: https://pan.baidu.com/s/1cVFkYOiONdgZvjHa-ShPUQ?pwd=b4at 提取码: b4at
录音转文字：📎2-13-集异璧第二次共读.docx
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「无伴奏阿基里斯奏鸣曲」
会议的背景音乐音乐就是巴赫的无伴奏小提琴奏鸣曲，也就是书中第三章开始前「无伴奏阿基里斯奏鸣曲」部分，阿基里斯给乌龟打电话时的背景音乐。虽然是对话但，这部分你只能看到阿基里斯在讲电话，但从内容中读者依然可以脑补出，电话另一方乌龟的回答，从而理解全完整的对话。这也是第三章的主题「图形与衬底」在对话中的一个展示（或者说同构）
「二部创意曲」到底是在讲啥？
第二章的开头「二部创意曲」这一块儿到底是在讲啥？我后来去查的时候就发现很多人提到了一个哲学的概念，我就觉得又穿越回了上一个读书会，就是叫无穷倒退，就是说我自己能证明自己吗？就是我自己能纠着我的靴子，把我自己从泥潭里拽出来吗？
其实我们在证明任何真理的时候，我们要么就像「二部创意曲」里这种无穷倒退回去（因为没有办法像数学一样，最后反推到一个公理上）然后要么就是会循环论证，就要么就是大家最终就是回到了某一个最接近相对接近公理的东西，也就是某一种道德，宗教，或者是教条的东西。特别是在过去的时代，他确实比较接近于不言之类的真理来终止论证。
但是在人们社会领域不证自明的公理，是不存在的，那在数学里面它存在吗？
作者列举了欧几里得第五公设，就是这个公理即：两条直线，要么平行，要么相交。但如果这条公理出了一些问题，会怎么样呢？但其实最后我们会发现，即使他不成立，也会有其他的系统产生。于是产生了非欧几何也就是双曲发现，大概故事是这样的。
当时欧几里德的第五公设特别长，和另外4个公设比起来显得特别不优雅，于是后世的一堆人就想化简这个公设/或者从新推理这个公设/或者证明它是错的。。。（来解决它，使得整个欧几里德几何学变得优雅统一）但都没成功。后来有一个人突然说，那如果我从我假设它是错的，然后去推一个系统，然后发现说那个系统里有自相矛盾的结论？那我们不是就可以反过来说明第五公设它是对的了吗？然后他就非常开心的去推了一套系统，然后非常伤心的发现里面并没有问题，结果因为这套系统最后，发展成了第一个非欧几何就是双曲面上的几何。
作者应该是想证明这种不证自明的公理在数学中其实也是不存在的。
「二部创意」里的双关语
更好懂的原版：
“你能不能用一个我表哥假海龟 (Mock-Turtle，爱丽丝梦游仙境中的人物）会用的双关，把你自己叫做Taught-Us（和乌龟Tortoise谐音）？
“你说的算！”疲倦的战士用绝望的，空洞的语气回复道，并将脸埋进了自己的手中。“但是你需要用一个假海龟不会用的双关，把你叫做 A Kill-Ease（意为毁别人舒适的人，和Achilles谐音)
关于同构
书中作者创造了一个PQ系统，他跟加法是同构的，在这里作者引入了一个新的词，同构也是一个数学上的词，简单来讲就是你可以一一对应（一个系统在另一个系统内形成某种映射关系）比如你研究了这个小系统里的规律，其实也就研究明白了另一个大系统的性质。
然后数学家非常喜欢干同构这种事情，因为刚刚讲了，他们很喜欢研究，就是把一个东西放在各种千奇百怪的方面去应用一下。但是千奇百怪的东西实在是太多了，是没有办法穷尽的，所以这会儿他们就会想，那这种千奇百怪和那一种千奇百怪是一样的吗？如果他们是一样的，那我们就只要研究一种就好了，还可以把它们一样的东西抽象出来，就能研究的比较深入。所以数学家非常非常喜欢同构这件事情
在此我想到了一道练习题，我感觉还挺直观的，就是在实数轴上做加法，与在正实数轴上做乘法是同构的
因为2个系统都满足交换律/结合率/存在单位元素/存在逆元素
存在单位元素：在实数域的加法运算中 0 是单位元素 / 在正实数域的乘法运算中 1 是单位元素
存在逆元素：在实数域的加法运算中 -1-2-3... 等是逆元素 / 在正实数域的乘法运算中 1/2 1/3 1/4 等 是逆元素
同构产生了意义
作者用自创的PQ系统来同构了现实中的加法/换句话说就是用加法为QP系统赋予了意义，但其实这只是一种解释，或者说一种意义。PQ系统可以有多种解释，有的解释有意义，有的没有意义。而读者发现了同构关系，就是为系统赋予了某种意义。但要注意的是这种主动赋予的意义，往往会产生新的规则。
新的规则有的是对的（良构的），符合原先系统的。但也有规则不是。
有的系统甚至有双重合理的意义。比如QP系统，也可以用减法为其赋予意义
印符规则和真实世界
那我们的真实世界可以用这样一套形式推演系统来表达吗？换句话说就是我们能Simulation我们现在所处的宇宙吗？（如果能的话，那我们存在着的这个宇宙是Simulation出来的吗？这个是多一步的联想了）
- 我们所讨论的形式系统可以用符号来表示和推演（印符规则）但它能表示真实世界吗？
- 印符规则 -- “形式”，可以被解释赋予意义，意义是被动的。
- 真实世界 -- “意义”，主动的意义，如语言、音乐、数、绘画、思维、粒子、云、气流、方言……
- 对真实世界，可以找到同构的形式系统吗？ -- 思维可以被GEB成书时代的计算规则模拟吗？世界可以吗？
于是作者先做了个简单的：用符号表示数的例子
- 注意：这里的阿拉伯数字就是个符号，加减乘除运算也是符号。
- 符号能够完全表达「数」这种存在吗？
- 那么「数」都具有什么性质？——举例：欧几里得定理：“有无穷多个素数。”
附言：
我在准备的时候，找到两本大一教材，顺手丢上来，感兴趣的小伙伴可以看～